Question

已知函數．
（1）判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（2）若a=1，求函數f（x）在上的值域．

Answer 1

解：（1）當a＞0時，設-1＜x₁＜x₂＜1
==
∵x₁-1＜0，x₂-1＜0，a（x₁-x₂）＜0
∴＞0，得f（x₁）＞f（x₂），函數f（x）在（-1，1）上是減函數；
同理可得，當a＜0時，函數f（x）在（-1，1）上是增函數．
（2）當a=1時，由（1）得f（x）=在（-1，1）上是減函數
∴函數f（x在上也是減函數，其最小值為f（）=-1，最大值為f（-）=
由此可得，函數f（x）在上的值域為[-1，]．
分析：（1）根據單調性的定義，進行作差變形整理，可得當a＞0時，函數f（x）在（-1，1）上是減函數，當a＜0時，函數f（x）在（-1，1）上是增函數；
（2）根據（1）的單調性，算出函數在在上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在上的值域．
點評：本題給出分式函數，討論了函數的單調性并求函數在閉區(qū)間上的值域，著重考查了函數單調性的判斷與證明和函數的值域等知識，屬于基礎題．