Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設b_n=a_n（）ⁿ，證明：對任意的正整數(shù)n、m均有|b_n-b_m|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，我們可以根據(jù)a_n+1=，判斷的值，是否是一個常數(shù)；
（2）由（1）的結論，我們易給出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用放縮法對結論進行證明；
（3）由（2）中數(shù)列{a_n}的通項公式，我們根據(jù)b_n=a_n（）ⁿ，不難給出{b_n}的通項公式，分析數(shù)列{b_n}的單調性，不難給出|b_n-b_m|的取值范圍，進而得到|b_n-b_m|＜．
解答：解：（Ⅰ）因為，
即
所以數(shù)列{}為等差數(shù)列
（Ⅱ）由（1）知：+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-
設f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），則f′（x）=1-＞0
∴f（x）在（0，+∞）為遞增函數(shù)，且f（x）在[0，+∞]上連續(xù)．
∴f（x）＞f（0）=0，∴當x＞0時，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+）＜，1-＜1-ln（1+）
所以a_n=1-＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因為b_n=×（）ⁿ，
當=××=×，
當=×＞1，n＞，即n≥4
當=×＜1，n＜，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因為n≥2時，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
對任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|的最大值為
b₄-b₁=×（）⁴-0=＜=
所以對任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|＜
點評：要判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項和公式法．