Question

（2012•合肥一模）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是（　　）

A．f（sinA）＞f（cosB）

B．f（sinA）＜f（cosB）

C．f（sinA）＞f（sinB）

D．f（cosA）＜f（cosB）

Answer 1

分析：根據(jù)導數(shù)的圖象，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．再由正弦函數(shù)的單調性和銳角三角形的性質，得到sinA＞cosB，所以f（sinA）＞f（cosB），得到正確選項．

解答：解：根據(jù)導數(shù)的圖象，可知
當x＞0時，f'（x）＞0；當x＜0時，f'（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)
∵△ABC為銳角三角形，
∴A、B都是銳角，且A+B＞

π

2

由此可得0＜

π

2

-B＜A＜

π

2

，
因為正弦函數(shù)在銳角范圍是增函數(shù)，所以對上式的兩邊取正弦得sin（

π

2

-B）＜sinA
∴sinA＞cosB，再結合f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，得f（sinA）＞f（cosB）
故選A

點評：本題以導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，并在銳角三角形比較兩個函數(shù)值的大小，著重考查了導數(shù)的性質和銳角三角形的性質等知識，屬于基礎題．