Question

已知直線l₁：y＝4x和點(diǎn)P(6，4)，過(guò)點(diǎn)P引一直線l與l₁交于點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)R，當(dāng)△OQR的面積最小時(shí)，求直線l的方程.

Answer 1

活動(dòng)：因?yàn)橹本�l過(guò)定點(diǎn)P(6，4)，所以只要求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線l的方程.

解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(6，4)的直線方程為x=6和y-4=k(x-6).

當(dāng)l的方程為x＝6時(shí)，△OQR的面積為S=72;當(dāng)l的方程為y-4=k(x-6)時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(,),此時(shí)△OQR的面積S=××

=.

∵S≥0,∴R(R-4)＞0,∴R＞4或R＜0.

變形為(S-72)k²＋(96-4S)k-32=0(S≠72).

因?yàn)樯鲜龇匠谈�的判別式Δ≥0，所以(96-4S)²+4·32(S-72)≥0,

解得16S(S-40)≥0,即S≥40,此時(shí)k=-1.

所以,當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)，S有最小值40.

此時(shí),直線l的方程為y-4=-(x-6)，即x＋y-10＝0.

點(diǎn)評(píng)：此題是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo).