Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；

（2）令g（x）＝0，得到；設(shè)，通過(guò)討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的草圖求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解：（1）當(dāng)m＝e時(shí)，，∴

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；

∴當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最小值．

（2）∵函數(shù)，

令g（x）＝0，得；

設(shè)，則′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是減函數(shù)；

當(dāng)x＝1是（x）的極值點(diǎn)，且是唯一極大值點(diǎn)，∴x＝1是（x）的最大值點(diǎn)；

∴（x）的最大值為，又（0）＝0結(jié)合y＝（x）的圖象，

可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)或m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；