Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1）平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，求證k₁+k₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出橢圓的標準方程，根據題意聯(lián)立方程組，求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）由點斜式設出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據判別式大于0求得k的范圍．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由根據韋達定理，分別求得x₁+x₂和x₁x₂進而表示出k₁和k₂，進而可求得k₁+k₂．
解答：解：（1）設橢圓方程為=1
則解得a²=8，b²=2
∴橢圓方程為
（2）∵直線l平行與OM，且在一軸上的截距為m，由k_OM=
∴l(xiāng)的方程為y=x+m
由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交與A，B兩個不同點
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
則k₁=，k₂=
而k₁+k₂=+===0
∴k₁+k₂=0，
故得證．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．