Question

1．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）最大值為1，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值8．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得a+2b=1，再由基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得A（1，2）．
化目標函數(shù)z=ax+by為y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a+2b=1．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）（a+2b）=4+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$$≥4+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}=8$．
當且僅當a=2b時上式“=”成立．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為8．
故答案為：8．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．