Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²a_n+2a₁-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）對(duì)任意n∈N^*，試比較a_n與

1

2n

的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）a₁=S₁=a₁+2a₁-1，得a1=

1

2

．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n2an-(n-1)2an-1，由此利用累乘法能求出an=

1

n(n+1)

，從面求出S_n=

n

n+1

．
（Ⅱ）通過(guò)逐項(xiàng)比較和數(shù)學(xué)歸納法證明，推導(dǎo)出n=1時(shí)，a_n=

1

2n

；1＜n≤4時(shí)，a_n＜

1

2n

；當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞

1

2n

．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²a_n+2a₁-1，其中n∈N^*．
∴a₁=S₁=a₁+2a₁-1，解得a1=

1

2

．
∴n≥2時(shí)，S_n=n²a_n，①
S_n-1=（n-1）²a_n-1，②
①-②得：a_n=S_n-S_n-1=n2an-(n-1)2an-1，
整理，得

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

，…，

an

an-1

=

n-1

n+1

，
把上面各式相乘，得

an

a1

=

2

n(n+1)

，
∴an=

1

n(n+1)

．
∴S_n=n²a_n+2a₁-1=

n2

n(n+1)

=

n

n+1

．
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，an=

1

2

，

1

2n

=

1

2

，a_n=

1

2n

，
當(dāng)n=2時(shí)，a_n=

1

6

，

1

2n

=

1

4

，a_n＜

1

2n

，
當(dāng)n=3時(shí)，a_n=

1

12

，

1

2n

=

1

8

，a_n＜

1

2n

，
當(dāng)n=4時(shí)，an=

1

20

，

1

2n

=

1

16

，a_n＜

1

2n

，
當(dāng)n=5時(shí)，an=

1

30

，

1

2n

=

1

32

，a_n＞

1

2n

，
∴當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞

1

2n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=5時(shí)，an=

1

30

，

1

2n

=

1

32

，a_n＞

1

2n

．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，則ak＞

1

2k

，即

1

k(k+1)

＞

1

2k

，
∴2^k＞k（k+1），
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

(k+1)(k+2)

，
∵（k+1）（k+2）=k（k+1）+2（k+1）＜2^k+2（k+1）＜2^k+1，
∴，a_k+1=

1

(k+1)(k+2)

＜

1

2k+1

．
∴當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞

1

2n

．
綜上：n=1時(shí)，a_n=

1

2n

；1＜n≤4時(shí)，a_n＜

1

2n

；當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＞

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通面公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查兩個(gè)式子的大小的比較，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．