Question

14．設函數(shù)f（x）=nlnx-$\frac{e^x}{e^n}$+2016，n為大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若$x∈（{0，\frac{{{t^2}+（{2n-1}）t}}{2}}），t∈（{0，2}）$，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅲ）觀察f（x）的單調性及最值，證明：ln$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}＜\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}-1}}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調性得到f（n+$\frac{1}{n}$）＜f（n），代入證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f′（x）=$\frac{n}{x}$-e^x-n，
令f′（n）=$\frac{n}{n}$-e^n-n=0，
則x∈（0，n）時，f′（x）＞0，x∈（n，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，n）遞增，在（n，+∞）遞減；
（Ⅱ）①當$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$≤n時，即t²+（2n-1）t-2n≤0，
即（t+2n）（t-1）≤0，由題意t∈（0，2），解得：0＜t≤1，
此時，由（Ⅰ）知：（0，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）⊆（0，n），
∴f（x）在（0，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）遞增，無極值點，
②當$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$＞n時，即t²+（2n-1）t-2n＞0，
由題意t∈（0，2），解得：1＜t＜2，
此時，由（Ⅰ）知：f（x）在（0，n）遞增，在（n，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）遞減
∴f（x）無極小值點，極大值點是x=n，
綜上，0＜t≤1時，f（x）無極值點，1＜t＜2時，f（x）的極大值點是x=n；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）在（0，n）遞增，在（n，+∞）遞減，
∴f（n+$\frac{1}{n}$）＜f（n），
即nln（n+$\frac{1}{n}$）-$\frac{{e}^{n+\frac{1}{n}}}{{e}^{n}}$+2016＜nlnn-1+2016，
得nln（n+$\frac{1}{n}$）-${e}^{\frac{1}{n}}$＜nlnn-1，
∴l(xiāng)n$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}＜\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}-1}}{n}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．