Question

已知圓C方程（x-2）²+（y-1）²=5，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)是圓C與y軸的交點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到圓上的最小值問(wèn)題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值等于該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑．

解答： 解：圓C方程（x-2）²+（y-1）²=5，
圓心C（2，1），半徑為

5

．
B點(diǎn)是圓C與y軸的交點(diǎn)，則B（0，0）或（0，2）
若點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D（a，b），
則由

b-2 a =1 1 2 a+ 1 2 (2+b)+2=0

，解得

a=-4 b=-2

，即D（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|，
故D到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|DC|-r=3

5

-

5

=2

5

，且CD：y=

1

2

x，聯(lián)立x+y+2=0解得交點(diǎn)P（-

4

3

，-

2

3

）．
即有|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，P（-

4

3

，-

2

3

）；
若B（0，0），同樣的方法，可求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A（-2，-2），AC：y=

3

4

x-

1

2

，
聯(lián)立x+y+2=0，解得交點(diǎn)P（-

6

7

，-

8

7

），
此時(shí)A到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|AC|-r=5-

5

，
即有|PB|+|PQ|的最小值為5-

5

，P的坐標(biāo)為（-

6

7

，-

8

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．