Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=1，M、N分別是棱A₁B、B₁C₁上的點(diǎn)，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，MN⊥A₁B．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的高a及MN的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在B₁C₁上移動(dòng)，問(wèn)P在何位置時(shí)，△PA₁B的面積才能取得最小值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0，可求高a及MN的長(zhǎng)；
 （2）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，△PA₁B的面積，再求最小值．

解答：解：（1）以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

A1B

={1，0，-a}，

MN

={

1

3

，

1

3

，

a

3

}，．由

A 1B

⊥

MN

⇒

A1B

•

MN

=0得，

1

3

-

1

3

a2=0⇒a=1，|

MN

| =

3

3

．
（2）設(shè)P（t，1-t，1），于是，

A1P

={t，1-t，0}，

A1B

={1，0，-1}，設(shè)

A1B

與

A1P

所成的角為θ，cosθ=

A1P  •  A1B

|  A1P  | • |  A1B  |

=

t

2t2-2t+1 • 2

⇒sinθ=

3t2-4t+2

2t2-2t+1 • 2

，S△PA1B=

1

2

|

A1B

|•|

A1P

|•sinθ=

3t2-4t+2

2

，
則當(dāng)t=

2

3

時(shí)，Smin=

6

6

．即當(dāng)與N重合時(shí)，△PA₁B的面積才能取得最小值

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立．