直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=1,M、N分別是棱A1B、B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N,MN⊥A1B.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1中的高a及MN的長(zhǎng);
(2)動(dòng)點(diǎn)P在B1C1上移動(dòng),問P在何位置時(shí),△PA1B的面積才能取得最小值.
分析:(1)以A為原點(diǎn),射線AB、AC、AA1分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量,利用數(shù)量積為0,可求高a及MN的長(zhǎng);
 (2)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而表示出,△PA1B的面積,再求最小值.
解答:解:(1)以A為原點(diǎn),射線AB、AC、AA1分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,
A1B
={1,0,-a},
MN
={
1
3
1
3
,
a
3
},.由
A 1B
MN
A1B
MN
=0得,
1
3
-
1
3
a2=0⇒a=1
|
MN
| =
3
3

(2)設(shè)P(t,1-t,1),于是,
A1P
={t,1-t,0},
A1B
={1,0,-1},設(shè)
A1B
A1P
所成的角為θ,cosθ=
A1P
 • 
A1B
A1P
 | • | 
A1B
 |
=
t
2t2-2t+1
2
⇒sinθ=
3t2-4t+2
2t2-2t+1
2
S△PA1B=
1
2
|
A1B
|•|
A1P
|•sinθ=
3t2-4t+2
2
,
則當(dāng)t=
2
3
時(shí),Smin=
6
6
.即當(dāng)與N重合時(shí),△PA1B的面積才能取得最小值
6
6
點(diǎn)評(píng):本題以直三棱柱為載體,考查利用空間向量解決立體幾何問題,關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=BB1=1,AB1=
3

(1)求證:平面AB1C⊥平面B1CB;    
(2)求三棱錐A1-AB1C的體積.

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如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=a,直線B1C與平面ABC成30°角.
(1)求證:平面B1AC⊥平面ABB1A1;   
(2)求C1到平面B1AC的距離;   
(3)求三棱錐A1-AB1C的體積.

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如圖,在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AA1=1,AC⊥BC,AC=BC=2,則BC1與平面AB B1 A1所成角的正弦值是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年重慶八中高三(下)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

如圖,在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AA1=1,AC⊥BC,AC=BC=2,則BC1與平面AB B1 A1所成角的正弦值是( )

A.
B.
C.
D.

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