Question

【題目】求證：．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由題意可知x>－1，構造函數f(x)＝ex－(1＋x)，利用函數f(x)的最小值可證明 ex≥1＋x．構造函數g(x)＝1+x－ln(1＋x)，利用函數g(x)的最小值可證明1＋x >ln(1＋x)．

根據題意，應有x>－1，

設f(x)＝ex－(1＋x)，則 f′(x)＝ex －1，

由f′(x)=0，得 x=0.

當－1< x < 0時，f′(x)<0；當x > 0時，f′(x)>0．

∴f(x)在(－1，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，f(x)min= f(0)=0．

∴ 當x>－1，f(x)≥f(0)=0，

即 ex≥1＋x．

設g(x)＝1+x－ln(1＋x)，則，

由g′(x)=0，得 x=0.

當－1< x < 0時，g′(x)<0；當x > 0時，g′(x)>0．

∴g(x)在(－1，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，g(x)min=g(0)=1．

∴ 當x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，

即1＋x >ln(1＋x)．

綜上可得：.