Question

6．已知△ABC的重心為O，且AB=5，BC=2$\sqrt{3}$，AC=3，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 利用重心的性質和向量的運算法則求出$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，再求數量積運算即可．

解答 解：設D為邊BC的中點，如圖所示，
則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
根據重心的性質可得：
$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
又$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}$×3²-$\frac{1}{3}$×5²
=-$\frac{16}{3}$．
故答案為：-$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了三角形重心的性質和平面向量數量積的運算問題，是基礎題目．