Question

（2012•泰安二模）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）無零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間．
（II）當a≤0時，函數(shù)有零點；當a＞0時，極大值小于0，函數(shù)沒有零點，由此可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)可得f′（x）=

1-ax

x

①當a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
②當a＞0時，令f′（x）＞0，則1-ax＞0，ax＜1，∵x＞0，∴0＜x＜

1

a

令f′（x）＜0，則1-ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

∴當a＞0時f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（II）當a≤0時，當x＞0，且無限趨近于0時，f（x）＜0，f（1）=-a≥0，故函數(shù)有零點
當a＞0時，若極大值小于0，即f（

1

a

）=-lna-1＜0，即a＞

1

e

，則函數(shù)沒有零點．
∴函數(shù)f（x）無零點時，實數(shù)a的取值范圍是（

1

e

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．