Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)在f（x）=-x²+1，若a[f（x）]²-bf（x）+3=0在[-1，5]上有5個(gè)根x_i（i=1，2，3，4，5），則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值為（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

Answer 1

【答案】分析：確定f（x）是周期為4的函數(shù)，f（x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱，從而可得f（x）=-1或0＜f（x）＜1．f（x）=-1時(shí)，x=2；0＜f（x）＜1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得四個(gè)根的和為0+8=8，即可得到結(jié)論．
解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=-x²+1
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²+1=f（x），
又f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為4的函數(shù)，
∵f（x）是偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），∴f（2+x）+f（-x）=0，
以1-x代x，可得f（1+x）+f（1-x）=0，
∴f（x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱，f（x）在[-1，5]上的圖象如圖
∵a[f（x）]²-bf（x）+3=0在[-1，5]上有5個(gè)根x_i（i=1，2，3，4，5），
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得f（x）=-1或0≤f（x）＜1
當(dāng)f（x）=-1時(shí)，x=2；0＜f（x）＜1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得四個(gè)根的和為0+8=8
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值為10
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)的研究，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．