已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），且
b
與
a
滿足|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，其中k＞0．
（1）用k表示
a
•
b
；
（2）求向量a，b的最小值，并求向量a，b的夾角大小．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用
分析：（1）由
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），可得|
a
|=|
b
|=1，結合|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，利用平方法，可得k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3（
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2），整理后可用k表示
a
•
b
；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，利用基本不等式，可分析出
a
•
b
的最小值，代入向量夾角公式，可得此時
a
，
b
夾角θ的大小．
解答： 解：∵|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|兩邊平方，
得：|k
a
+
b
|2=3|
a
-k
b
|2
∴k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3（
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2），
即
a
•
b
=
(3-k2)
a
2+(3k2-1)
b
2
8k
．
∵
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
∴
a
2=1，
b
2=1，
∴
a
•
b
=
1+k2
4k
；
（2）∵k＞0，
∴（k-1）2≥0，從而k2+1≥2k，
即
1+k2
4k
≥
2k
4k
=
1
2
，當且僅當k=1取得最小值．
∴
a
•
b
的最小值為
1
2
，
此時cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
，
∴θ=60°，
即
a
與
b
的夾角為60°．
點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合題，熟練掌握向量模計算的計算方式及平面向量夾角公式，是解答的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l的極坐標方程為ρsin（θ+
π
6
）=
1
2
，圓M的參數(shù)方程是：
x=1+
3
cosθ
y=1+
3
sinθ
（θ為參數(shù)）
（1）求直線l、圓M的直角坐標方程；
（2）直線l與圓M相交于A，B兩點，求三角形ABM的面積．

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△ABC中，已知AC=2
3
，cos∠ACB=
3
6
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5
，則sinA=
 
．

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在20瓶飲料中，有2瓶過了保質期，從中任取1瓶，恰好為過期飲料的概率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
10
C、
1
20
D、
1
40

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設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么稱k是集合A的一個“好元素”．給定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　）
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3
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（2）若圓C關于直線l：kx-y-k=0對稱，求k的取值范圍．

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π
4
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進入秋冬季節(jié)以來，熱飲受到大眾喜愛．某中學校門口一奶茶店為了了解某品牌熱飲的日銷售量y（杯）與當日氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某5天該品牌熱飲的日銷量和當日氣溫的數(shù)據(jù)如下表：
當日氣溫（℃）x201612106
日銷量（杯）y4045605960
利用最小二乘法估計出該組數(shù)據(jù)滿足的回歸直線方程為：
∧
y
=-1.5x+a（a∈R）．
（Ⅰ）試預測當氣溫為4℃時，該品牌熱飲的日銷量？
（Ⅱ）在已有的五組數(shù)據(jù)中任取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其日銷量y的預測值和實際值之差的絕對值不超過2的概率．

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