Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且S_n=，{b_n}為等差數(shù)列，且a₁=b₁，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（）-（ ）=，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，此式也成立，所以，從而b₁=a₁=1，，
又因?yàn)閧b_n}為等差數(shù)列，所以公差d=2，∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1，
故數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式分別為：，b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以+（2n-1）•2^n-1 ①
①×2得+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ ②
①-②得：-（2n-1）•2ⁿ
==1+2ⁿ⁺¹-4-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
分析：（Ⅰ）由可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故可用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的綜合應(yīng)用，涉及等差等比數(shù)列以及錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．