Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)f（x）=asinax+cosax（a＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{a}$，在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖象與函數(shù)$g（x）=\sqrt{{a^2}+1}$的圖象所圍成的封閉圖形的面積是$\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）由三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，把要求的面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度為$\frac{2π}{a}$，寬度為$2\sqrt{{a}^{2}+1}$矩形的面積的一半來(lái)解決；或者利用定積分的意義轉(zhuǎn)化為定積分${∫}_{Φ}^{Φ}\sqrt{{a}^{2}+1}[1-sin（ax+∅）]lhnt7zv_{x}$來(lái)求解．

解答 解：（1）由f（x）=asinax+cosax（a＞0）
?f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}sin（ax+∅）$，其中$tan∅=\frac{1}{a}$
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{a}$

（2）取長(zhǎng)度為$\frac{2π}{a}$，寬度為$2\sqrt{{a}^{2}+1}$矩形，根據(jù)三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，所圍成的封閉圖形的面積為矩形的一半，
∴${S}_{矩形}=\frac{2π}{a}×2\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{4π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$；
所以：$\frac{1}{2}{S}_{矩形}=\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$；
故答案為：$\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考慮了利用輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的問(wèn)題和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．同時(shí)考查了曲線圍成圖形的面積，一般采用定積分或者利用圖象的對(duì)稱性解決．屬于基礎(chǔ)題．