設(shè)函數(shù)f(x)=x3+a﹣a2x+m(a≥0).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x∈[﹣1,1]內(nèi)沒有極值點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的a∈[3,6),不等式f(x)≤1在x∈[﹣2,2]上恒成立,求m的取值范圍.
解:(Ⅰ)∵f'(x)=3+2ax﹣a2=
當(dāng)a=0時f'(x)≥0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞)
當(dāng)a>0時由f'(x)>0得x<﹣a或
由f'(x)<0得,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣a),,單調(diào)遞減區(qū)間為
(Ⅱ)當(dāng)a=0時由(1)知函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增,
則f(x)在[﹣1,1]上沒有極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時∵
由(1)知f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
則要f(x)在[﹣1,1]上沒有極值點(diǎn),
則只需f'(x)=0在(﹣1,1)上沒有實(shí)根.
,解得a≥3
綜上述可知:a的取值范圍為[3,+∞)∪{0}
(Ⅲ)∵a∈[3,6),
≤﹣3
又x∈[﹣2,2]
由(1)的單調(diào)性質(zhì)知f(x)max=max{f(﹣2),f(2)}
而f(2)﹣f(﹣2)=16﹣4a2<0
∴f(x)max=f(﹣2)=﹣8+4a+2a2+m
∵f(x)≤1在[﹣2,2]上恒成立
∴f(x)max≤1即﹣8+4a+2a2+m≤1即m≤9﹣4a﹣2a2在a∈[3,6]上恒成立,
∵9﹣4a﹣2a2的最小值為﹣87
∴m≤﹣87
練習(xí)冊系列答案
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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+5(a>0)
(1)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)時,求a的值;
(2)若a∈[3,6],當(dāng)x∈[-4,4]時,求函數(shù)f(x)的最大值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x-1.求:
(Ⅰ)函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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