Question

動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線l：y=3之間的區(qū)域（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，且到點(diǎn)F（0，1）和直線l的距離之和為4．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（0，-1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成區(qū)域的面積．

Answer 1

（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得

x2+(y-1)2

+3-y=4，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)P的軌跡C的方程y=

1

4

x²（y≤3）．（4分）
（2）設(shè)過Q的直線方程為y=kx-1，代入拋物線方程，整理得x²-4kx+4=0．
由△=16k²-16=0．解得k=±1．
于是所求切線方程為y=±x-1．
切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），（-2，1）．
由對(duì)稱性知所求的區(qū)域的面積為S=2

∫

20

[

1

4

x2-(x-1)]dx=

3

4

．（10分）