如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=,AD=CD=1.

求證：BD⊥AA1；

若四邊形是菱形，且，求四棱柱的體積.

 

【答案】

詳見解析；

【解析】

試題分析：在底面ABCD中，由各邊的關(guān)系可知再由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而證得BD⊥AA1；由于四棱柱底面各邊及對角線CA長度都已知，故其面積容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC邊上的高，由及可得高，所以可得四棱柱體積V=.

試題解析：（Ⅰ）在四邊形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092223513871445833/SYS201309222352374568121848_DA.files/image012.png">，，所以    2分

又平面平面，且平面平面

平面，所以平面                      4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092223513871445833/SYS201309222352374568121848_DA.files/image018.png">平面，所以．                       6分

（Ⅱ）過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平面平面 

∴平面

即為四棱柱的一條高          8分

又∵四邊形是菱形,且，

∴ 四棱柱的高為               9分

又∵ 四棱柱的底面面積  10分

∴ 四棱柱的體積為            12分

考點(diǎn)：1.面面垂直性質(zhì)定理；2.棱柱的體積公式；3.解三角形.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1=AB=2，四棱錐B-AA1C1D的體積為3．
（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）求直線A1C1與平面BDC1所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC1-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點(diǎn)E在棱CC1上，點(diǎn)E是棱C1C上一點(diǎn)．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）當(dāng)E為CC1中點(diǎn)時(shí)，求四面體A1-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點(diǎn)E在棱CC1上，點(diǎn)E是棱C1C上一點(diǎn)．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）試確定點(diǎn)E的位置，使得四面體A1-BDE體積最大．并求出體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點(diǎn)E在棱CC1上，點(diǎn)F是棱C1D1的中點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點(diǎn)E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點(diǎn)E在棱CC1上，點(diǎn)F是棱C1D1的中點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點(diǎn)E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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