Question

14．已知函數(shù)$f（x）=cosx（sinx+cosx）-\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=cosx（sinx+cosx）-\frac{1}{2}$．
化解可得：f（x）sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：-$\frac{3π}{8}+kπ≤$x$≤\frac{π}{8}+kπ$
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]k∈Z．
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，可得：-$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{4}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
故得函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題