Question

在數列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）設b_n=a_n-2n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）記數列{a_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與n²+2011n的大�。�

Answer 1

分析：對于（1）需要對數列遞推式a_n+1=3a_n-4n+2進行轉化，轉化為等差或者等比數列的形式進行解答，針對b_n=a_n-2n的形式設計，可以兩邊減去2n，于是湊出形式a_n-2n，即：a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），于是得到一個等比數列{a_n-2n}，很好的完成了轉化．
（2）的解答需要利用（1）的結論，求出數列{a_n}的通項公式，進一步求出其前n項的和，再利用作差的思想S_n-（n²+2011n）化成函數（自變量是正整數n）的問題進行討論即可．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，數列{a_n-2n}是首項為3，公比為3的等比數列，
所以，b_n=3ⁿ．
（2）a_n-2n=3ⁿ?a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=

3

2

(3n-1)-2010n=

3

2

(3n-1340n-1)．
設c_n=3ⁿ-1340n-1，
由于c_n+1-c_n=2•3ⁿ-1340
當n＜6時，c_n+1＜c_n
當n≥6時，c_n+1＞c_n
即，當n＜6時，數列{c_n}是遞減數列，當n≥6時，數列{c_n}是遞增數列
又c₁=-4018＜0，c₈=-4160＜0，c₉=7622＞0
所以，當n≤8時，S_n＜n²+2011n；
所以，當n＞8時，S_n＞n²+2011n．

點評：本題很好的考查了數列的知識，有深度，一定的綜合度，對數列的遞推公式考查既基本又有一定的難度，技巧，符合數列知識的教學目標，總之本題綜合考查等差等比數列的內容及其轉化問題，同時又綜合考查了函數的知識，分類討論的思想的應用．