Question

8．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$+b_n，設數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）求出c_n，運用等比數(shù)列的求和公式和裂項相消求和，即可得到所求．

解答 解：（I）設數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=10}\\{3+4d-2q=3+2d}\end{array}\right.$，
解得d=q=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2^n-1．
（Ⅱ）c_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{2•\frac{1}{2}n（2n+4）}$+2^n-1，
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+2^n-1，
前n項和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）+2ⁿ-1=2ⁿ-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．
則T_2n=2²ⁿ-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查裂項相消求和的運用，屬于中檔題．