Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}$，且a＞1，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=3時(shí)，$f（x）=（x+1）lnx-3（x-1），f'（x）=lnx+\frac{1}{x}-2$，
f'（1）=-1，f（1）=0．
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0．
（2）$g（x）=lnx-a\frac{x-1}{x+1}$，x＞0，a＞1，
$g'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（{x^2}+1）}^2}}}$，
令F（x）=x²+2（1-a）x+1，其對(duì)稱軸為x=a-1＞0，△=4a（a-2）
①當(dāng)△≤0，即1＜a≤2，F(xiàn)（x）≥0，g'（x）≥0，
g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無(wú)極值．
②當(dāng)△＞0，即a＞2，
令g'（x）＞0，則$0＜x＜a-1-\sqrt{a（a-2）}或x＞a-1+\sqrt{a（a-2）}$，
令g'（x）＜0，則$a-1-\sqrt{a（a-2）}＜x＜a-1+\sqrt{a（a-2）}$
所以，增區(qū)間為$（{0，a-1-\sqrt{a（a-2）}}）和（{a-1+\sqrt{a（a-2）}，+∞}）$
減區(qū)間為$（{a-1-\sqrt{a（a-2）}，a-1+\sqrt{a（a-2）}}）$
所以，極大值點(diǎn)是$a-1-\sqrt{a（a-2）}$，極小值點(diǎn)是$a-1+\sqrt{a（a-2）}$
綜上：當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無(wú)極值．
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在$（{0，a-1-\sqrt{a（a-2）}}）和（{a-1+\sqrt{a（a-2）}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
在$（{a-1-\sqrt{a（a-2）}，a-1+\sqrt{a（a-2）}}）$上單調(diào)遞減；
極大值點(diǎn)是$a-1-\sqrt{a（a-2）}$，極小值點(diǎn)是$a-1+\sqrt{a（a-2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．