設函數(shù)f（x）=
2x+4
4x+8

（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：對于任意實數(shù)a、b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
．
考點：指數(shù)函數(shù)綜合題
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：（1）根據(jù)f(x)=
24•2x
(2x)2+8
=
16
2x+
8
2x
≤
16
2
2x•
8
2x
=2
2
，當且僅當2x=
8
2x
時取等號，求出f（x）的最大值即可；
（2）由（1）知f(a)≤2
2
，又因為b2-3b+
21
4
=(b-
3
2
)2+3≥3＞2
2
，所以對于任意實數(shù)a，b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
成立．
解答： 解：（1）∵f(x)=
24•2x
(2x)2+8
=
16
2x+
8
2x
≤
16
2
2x•
8
2x
=2
2

當且僅當2x=
8
2x
時取等號，
∴f（x）的最大值為2
2
；
（2）由（1）知f(a)≤2
2
，
又∵b2-3b+
21
4
=(b-
3
2
)2+3≥3＞2
2
，
∴對于任意實數(shù)a，b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
成立．
點評：本題主要考查了不等式的性質的運用，屬于基礎題．
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相關習題

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已知復數(shù)Z1，Z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A（-2，1），B（a，3）．
（1）若|Z1-Z2|=
5
，求a的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩點A（0，
3
），B（0，-
3
）．曲線G上的動點P（x，y）使得直線PA、PB的斜率之積為3．
（Ⅰ）求G的方程；
（Ⅱ）過點C（0，-1）的直線與G相交于E、F兩點，且
CE
=2
CF
，求直線EF的方程．

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設A是拋物線y=ax2（a＞0）準線上任意一點，過A點作拋物線的切線l1，l2，切點為P，Q．
（1）證明：直線PQ過定點；
（2）設PQ中點為M，求|AM|最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

i+i2+…+i2013=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知無窮等比數(shù)列{an}所有奇數(shù)項的和為36，偶數(shù)項的和為12，求此數(shù)列的首項和公比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，Sn和{an}滿足等式Sn+1=
n+1
n
Sn+n+1，
（1）求S2的值；
（2）求證：數(shù)列{
Sn
n
}是等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點F為拋物線C1：y2=4x的焦點，過點F任作兩條互相垂直的直線l1，l2，分別交拋物線C1于A，C，B，D四點，E，G分別為AC，BD的中點．
（Ⅰ）直線EG是否過定點？若過，求出該定點；若不過，說明理由；
（Ⅱ）設直線EG交拋物線C1于M，N兩點，試求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)z=i（i+1）（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是
 
．

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