Question

1．拋物線C：y²=4x的焦點為F，準線為l，點P（x₀，y₀）（y₀＞0）拋物線C上，過P作拋物線C的切線l₁交l于點Q，過F作l₁的垂線l₂交拋物線C于A，B兩點，記△ABQ的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，對拋物線方程兩邊對x求導(dǎo)，求得切線的斜率和方程，令x=-1，可得Q的坐標(biāo)；由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得垂線l₂的斜率和方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，求得|AB|，由點到直線的距離公式可得Q到AB的距離，運用三角形的面積公式，化簡整理，即可得到所求面積的范圍．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），準線為l：x=-1，
對拋物線y²=4x兩邊對x求導(dǎo)，可得2yy′=4，即y′=$\frac{2}{y}$，
可得切線l₁的斜率為$\frac{2}{{y}_{0}}$，切線的方程為y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即有y₀y=2（x+x₀），
令x=-1，可得Q（-1，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
垂線l₂的斜率為-$\frac{{y}_{0}}{2}$，方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1），
代入拋物線方程y²=4x，可得y₀²x²-（2y₀²+16）x+y₀²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$+2=4+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
Q到直線l₂的距離為d=$\frac{|-{y}_{0}-{y}_{0}+\frac{4（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}|}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-2{{y}_{0}}^{2}+4{x}_{0}-4|}{{y}_{0}\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}{{y}_{0}}$，
則△ABQ的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}{{y}_{0}}$•（4+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$）=2•$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}•（4+{{y}_{0}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{3}}$，
由S²=4•（$\frac{4+{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$）³=4•（1+$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$）³＞4，可得S＞2．
可得S的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查拋物線的切線方程的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)和點滿足拋物線方程，直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，運用三角形的面積公式和化簡整理的能力，屬于中檔題．