分析 (1)分兩種情況考慮:①直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),可得出直線(xiàn)l為x=1,此時(shí)直線(xiàn)l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為$2\sqrt{3}$,滿(mǎn)足題意;②當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k,由M及斜率k表示出直線(xiàn)l的方程,設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為d,由已知截取的弦長(zhǎng),根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于d的方程,求出方程的解得到d的值,再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到直線(xiàn)l的距離d,由d的值列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時(shí)直線(xiàn)的方程,綜上,得到所有滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)方程;
(2)可設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),然后聯(lián)立圓的方程得到關(guān)x的一個(gè)一元二次方程,然后設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),表示出AN和BN的斜率之和,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求證即可
解答 解:(1)①直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),可得出直線(xiàn)l為x=1,此時(shí)直線(xiàn)l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為$2\sqrt{3}$,滿(mǎn)足題意;
②當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),因?yàn)閨AB|=$2\sqrt{3}$,所以半弦長(zhǎng)=$\sqrt{3}$,由勾股定理得弦心距d=$\sqrt{{2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}}=1$,
又有點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得弦心距d=$\frac{|0×k-1×2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+(-1)^{2}}}$=1,解得k=$-\frac{3}{4}$,此時(shí)直線(xiàn)方程為3x+4y-3=0,
所以滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線(xiàn)l的方程為x=1或3x+4y-3=0.
(2)證明:由題設(shè)容易得到點(diǎn)N坐標(biāo)(0,4),
設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1),聯(lián)立圓的方程,可得關(guān)于x的一元二次方程:(k2+1)x2-(2k2+4k)x+(k2+4k)=0,
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)可得x1•x2=$\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$,${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$;
AN的斜率KAN=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}=\frac{k({x}_{1}-1)-4}{{x}_{1}}=\frac{k{x}_{1}-(k+4)}{{x}_{1}}$,BN的斜率KBN=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}=\frac{k({x}_{2}-1)-4}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{2}-(k+4)}{{x}_{2}}$,
則KAN+KBN=$\frac{k{x}_{1}-(k+4)}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-(k+4)}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-(k+4)({x}_{1}+{x}_{2})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$2k-\frac{(k+4)•\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}$=2k-2k-4=-4.
所以AN與BN的斜率之和為定值,從而結(jié)論得證.
點(diǎn)評(píng) 考察直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,可聯(lián)立直線(xiàn)與圓的關(guān)系,采用數(shù)形結(jié)合思想,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)過(guò)的點(diǎn)與直線(xiàn)間的距離公式問(wèn)題以及二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求解或者求證即可,屬于中檔題.
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x | -1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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A. | (1,2) | B. | (-2,2) | C. | (-1,5) | D. | (-2,5) |
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A. | 1 | B. | 0 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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