Question

1．過點(diǎn)M（1，0）的直線l與圓C：x²+（y-2）²=4交于A，B兩點(diǎn)．N為圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)．
（I）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程：
（II）證明：直線AN，BN的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況考慮：①直線l垂直于x軸時(shí)，可得出直線l為x=1，此時(shí)直線l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為$2\sqrt{3}$，滿足題意；②當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，由M及斜率k表示出直線l的方程，設(shè)圓心到直線的距離為d，由已知截取的弦長，根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由d的值列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線方程；
（2）可設(shè)直線方程為y=k（x-1），然后聯(lián)立圓的方程得到關(guān)x的一個(gè)一元二次方程，然后設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出AN和BN的斜率之和，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求證即可

解答 解：（1）①直線l垂直于x軸時(shí)，可得出直線l為x=1，此時(shí)直線l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為$2\sqrt{3}$，滿足題意；
②當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），因?yàn)閨AB|=$2\sqrt{3}$，所以半弦長=$\sqrt{3}$，由勾股定理得弦心距d=$\sqrt{{2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}}=1$，
又有點(diǎn)到直線的距離公式可得弦心距d=$\frac{|0×k-1×2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得k=$-\frac{3}{4}$，此時(shí)直線方程為3x+4y-3=0，
所以滿足題設(shè)條件的直線l的方程為x=1或3x+4y-3=0．
（2）證明：由題設(shè)容易得到點(diǎn)N坐標(biāo)（0，4），
設(shè)直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立圓的方程，可得關(guān)于x的一元二次方程：（k²+1）x²-（2k²+4k）x+（k²+4k）=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）可得x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$；
AN的斜率K_AN=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}=\frac{k（{x}_{1}-1）-4}{{x}_{1}}=\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}$，BN的斜率K_BN=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}=\frac{k（{x}_{2}-1）-4}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$，
則K_AN+K_BN=$\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（k+4）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$2k-\frac{（k+4）•\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}$=2k-2k-4=-4．
所以AN與BN的斜率之和為定值，從而結(jié)論得證．

點(diǎn)評 考察直線與圓的位置關(guān)系，可聯(lián)立直線與圓的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)過的點(diǎn)與直線間的距離公式問題以及二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求解或者求證即可，屬于中檔題．