分析 (1)分兩種情況考慮:①直線l垂直于x軸時(shí),可得出直線l為x=1,此時(shí)直線l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為2√3,滿足題意;②當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線l的斜率為k,由M及斜率k表示出直線l的方程,設(shè)圓心到直線的距離為d,由已知截取的弦長,根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于d的方程,求出方程的解得到d的值,再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,由d的值列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時(shí)直線的方程,綜上,得到所有滿足題意的直線方程;
(2)可設(shè)直線方程為y=k(x-1),然后聯(lián)立圓的方程得到關(guān)x的一個(gè)一元二次方程,然后設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),表示出AN和BN的斜率之和,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求證即可
解答 解:(1)①直線l垂直于x軸時(shí),可得出直線l為x=1,此時(shí)直線l與圓C的兩交點(diǎn)距離|AB|為2√3,滿足題意;
②當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-1),因?yàn)閨AB|=2√3,所以半弦長=√3,由勾股定理得弦心距d=√22−√32=1,
又有點(diǎn)到直線的距離公式可得弦心距d=|0×k−1×2−k|√k2+(−1)2=1,解得k=−34,此時(shí)直線方程為3x+4y-3=0,
所以滿足題設(shè)條件的直線l的方程為x=1或3x+4y-3=0.
(2)證明:由題設(shè)容易得到點(diǎn)N坐標(biāo)(0,4),
設(shè)直線方程為y=k(x-1),聯(lián)立圓的方程,可得關(guān)于x的一元二次方程:(k2+1)x2-(2k2+4k)x+(k2+4k)=0,
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)可得x1•x2=k2+4kk2+1,x1+x2=2k2+4kk2+1;
AN的斜率KAN=y1−4x1=k(x1−1)−4x1=kx1−(k+4)x1,BN的斜率KBN=y2−4x2=k(x2−1)−4x2=kx2−(k+4)x2,
則KAN+KBN=kx1−(k+4)x1+kx2−(k+4)x2=2kx1x2−(k+4)(x1+x2)x1x2=2k−(k+4)•2k2+4kk2+1k2+4kk2+1=2k-2k-4=-4.
所以AN與BN的斜率之和為定值,從而結(jié)論得證.
點(diǎn)評 考察直線與圓的位置關(guān)系,可聯(lián)立直線與圓的關(guān)系,采用數(shù)形結(jié)合思想,將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)過的點(diǎn)與直線間的距離公式問題以及二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求解或者求證即可,屬于中檔題.
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x | -1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
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A. | 23 | B. | 12 | C. | 13 | D. | 16 |
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A. | (1,2) | B. | (-2,2) | C. | (-1,5) | D. | (-2,5) |
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