Question

設函數f（x）的定義域是R，對于任意的x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）用函數單調性的定義證明函數f（x）為增函數；
（4）若f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號即可證得f（x）為R上的增函數；
（4）依題意，可得m≤

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2

cos²θ+sinθ-1恒成立，構造函數y=

1

2

cos²θ+sinθ-1=-

1

2

（sinθ-1）²，可求得其最小值，從而可得m的取值范圍．

解答：解：（1）取x=y=0得，f（0）=0；
（2）函數f（x）為奇函數，理由如下：已知函數的定義域為R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；                        
（3）證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數f（x）為R上的增函數．             
（4）由f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，f（x）為奇函數，
得：f（cos²θ+2sinθ）≥f（2m+2）恒成立，又函數f（x）為R上的增函數，
∴cos²θ+2sinθ≥2m+2恒成立，
即m≤

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2

cos²θ+sinθ-1恒成立，
設y=

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2

cos²θ+sinθ-1=-

1

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sin²θ+sinθ-

1

2

=-

1

2

（sinθ-1）²，
令t=sinθ，則t∈[-1，1]，
∴由y=-

1

2

（sinθ-1）²知t=-1時，y_min=-2，
則m≤-2，即實數m的取值范圍為（-∞，-2]．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性的判定與函數恒成立問題，考查轉化思想與綜合運算求解能力，屬于難題．