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設函數f(x)的定義域是R,對于任意的x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷函數的奇偶性;
(3)用函數單調性的定義證明函數f(x)為增函數;
(4)若f(cos2θ+2sinθ)+f(-2m-2)≥0恒成立,求實數m的取值范圍.
分析:(1)取x=y=0即可求得f(0)的值;
(2)令y=-x,易得f(x)+f(-x)=0,從而可判斷其奇偶性;
(3)設x1,x2∈R且x1<x2,作差f(x2)-f(x1)后判斷其符號即可證得f(x)為R上的增函數;
(4)依題意,可得m≤
1
2
cos2θ+sinθ-1恒成立,構造函數y=
1
2
cos2θ+sinθ-1=-
1
2
(sinθ-1)2,可求得其最小值,從而可得m的取值范圍.
解答:解:(1)取x=y=0得,f(0)=0;
(2)函數f(x)為奇函數,理由如下:已知函數的定義域為R,
取y=-x代入,得f(0)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,于是f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數;                        
(3)證明:設x1,x2∈R且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
由x2-x1>0知,f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函數f(x)為R上的增函數.             
(4)由f(cos2θ+2sinθ)+f(-2m-2)≥0恒成立,f(x)為奇函數,
得:f(cos2θ+2sinθ)≥f(2m+2)恒成立,又函數f(x)為R上的增函數,
∴cos2θ+2sinθ≥2m+2恒成立,
即m≤
1
2
cos2θ+sinθ-1恒成立,
設y=
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2
cos2θ+sinθ-1=-
1
2
sin2θ+sinθ-
1
2
=-
1
2
(sinθ-1)2,
令t=sinθ,則t∈[-1,1],
∴由y=-
1
2
(sinθ-1)2知t=-1時,ymin=-2,
則m≤-2,即實數m的取值范圍為(-∞,-2].
點評:本題考查抽象函數及其應用,著重考查函數單調性的判定與函數恒成立問題,考查轉化思想與綜合運算求解能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關系為
a>b
a>b

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1
4
]
時,f(x)≥2x恒成立.則f(
3
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)+f(
5
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)
=
1
1

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