【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)在的值域；

（2）用表示實數(shù)，的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和得到函數(shù)在單調(diào)遞增，計算得到答案.

（2）時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，故的零點即為函數(shù)的零點，討論在的零點個數(shù)得到答案.

（1）

當(dāng)時，，，所以

當(dāng)時，，，所以

所以：當(dāng)時，成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增

所以函數(shù)在的值域為，即值域為.

（2）函數(shù)的定義域為

由（1）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，又，

所以時，恒成立，即時，無零點.

當(dāng)時，恒成立，所以的零點即為函數(shù)的零點

下面討論函數(shù)在的零點個數(shù)

，所以

Ⅰ、當(dāng)時，因為，

又函數(shù)在區(qū)間遞減，所以

即當(dāng)時，，

所以單調(diào)遞減，由得：當(dāng)時，遞增

當(dāng)時，遞減

當(dāng)時，，當(dāng)時

又，

當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有2個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有3個零點；

Ⅱ、當(dāng)時，，由Ⅰ得：當(dāng)時，，遞增，

當(dāng)時，，遞減，所以，，

所以當(dāng)時函數(shù)有2個零點

Ⅲ、當(dāng)時，

，，即成立，由，

所以當(dāng)時函數(shù)有1個零點

綜上所述：當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點；

當(dāng)或時，函數(shù)有2個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有3個零點.

練習(xí)冊系列答案
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（2）若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.

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（1）求的解析式；

（2）將函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再向左平移個單位長度得到的圖象，求的解析式及單調(diào)增區(qū)間，對稱中心.

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（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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