Question

10．過(guò)原點(diǎn)作圓x²+y²+2x-4y+4=0的割線，交圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)中點(diǎn)為M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)割線方程為：y=kx，代入x²+y²-4y+2x+4=0，得（1+k²）x²+（2-4k）x+4=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)中點(diǎn)為M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)割線方程為：y=kx
代入x²+y²-4y+2x+4=0得：
（1+k²）x²+（2-4k）x+4=0
x₁+x₂=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，
∴弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2k-1}{1+{k}^{2}}$，
把k=$\frac{y}{x}$代入得：x=$\frac{\frac{2y}{x}-1}{1+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}$，
整理，得：x²+y²+x-2y=0．
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程：x²+y²+x-2y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．