Question

4．（1+2x）（x+$\frac{2}{x}$）⁵展開(kāi)式中x的系數(shù)為40．

Answer 1

分析 展開(kāi)式的x項(xiàng)來(lái)源于第一個(gè)括號(hào)的1和m=（x+$\frac{2}{x}$）⁵展開(kāi)式的x項(xiàng)的乘積或第一個(gè)括號(hào)的2x和m=（x+$\frac{2}{x}$）⁵展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的乘積，分別由m的展開(kāi)式可得．

解答 解：展開(kāi)式的x項(xiàng)來(lái)源于第一個(gè)括號(hào)的1和m=（x+$\frac{2}{x}$）⁵展開(kāi)式的x項(xiàng)的乘積
或第一個(gè)括號(hào)的2x和m=（x+$\frac{2}{x}$）⁵展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的乘積，
又m=（x+$\frac{2}{x}$）⁵的通項(xiàng)為T_k+1=${C}_{5}^{k}$x^5-k（$\frac{2}{x}$）^k=2^k•${C}_{5}^{k}$x^5-2k，
令5-2k=1可得k=2，故m展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為40x，
令5-2k=0可得k=$\frac{5}{2}$∉Z，故m展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)，
∴原式展開(kāi)式中x的系數(shù)為40，
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)，分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．