Question

1．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁，a₂（a₁＜a₂）分別為方程x²-6x+5=0的二根．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）在（1）中，設(shè)b_n=$\frac{S_n}{n+c}$，求證：當(dāng)c=-$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先化簡b_n，再利用定義證明即可．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0得其二根分別為1和5，
∵a₁，a₂（a₁＜a₂）分別為方程x²-6x+5=0的二根
∴以a₁=1，a₂=5，
∴{a_n}等差數(shù)列的公差為4，
∴${S_n}=n•1+\frac{{n（{n-1}）}}{2}•4$=2n²-n；
（2）證明：當(dāng)$c=-\frac{1}{2}$時(shí)，${b_n}=\frac{S_n}{n+c}$=$\frac{{2{n^2}-n}}{{n-\frac{1}{2}}}=2n$，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題．