Question

14．已知f（x）=alnx-ax²（$\frac{1}{2}$≤x≤1）滿足：斜率不小于1的任意直線l與f（x）的圖象至多有一個公共點，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-2，1]
• C． [-1，2]
• D． [ln2-2，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 求出函數的導數，由題意可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個解，討論a=0，a＞0，a＜0，運用參數分離和函數的單調性，即可得到所求范圍．

解答 解：函數f（x）=alnx-ax²的導數為f′（x）=$\frac{a}{x}$-2ax，
由任何斜率不小于1的直線與f（x）的圖象至多有一個公共點，
可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個解，
當a=0時，顯然成立；
當a＞0時，$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]遞減，可得值域為[0，1]，
可得$\frac{1}{a}$≥1，解得0＜a≤1；
當a＜0時，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤1時，$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]遞減，可得值域為[-1，0]，
可得$\frac{1}{a}$≤-1，解得-1≤a＜0．
綜上可得a的范圍是[-1，1]．
故選：A．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查轉化思想的運用，以及參數分離方法，考查運算求解能力，屬于中檔題．