Question

6．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F （-2，0），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M （m，0）在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點，當|MP|最小時，點P恰好是橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的標準方程，根據(jù)焦點坐標和長軸長與短軸長的比聯(lián)立方程求得a和b，進而可得橢圓的方程．
（2）設P（x，y）為橢圓上的動點，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷x的范圍．代入$\overrightarrow{MP}$判斷因為當|$\overrightarrow{MP}$|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，進而求得m的范圍．點M在橢圓的長軸上進而推脫m的最大和最小值．綜合可得m的范圍．

解答 解：（1）設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=16，b²=12．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
（2）設P（x，y）為橢圓上的動點，
由于橢圓方程為$\frac{x2}{16}$+$\frac{y2}{12}$=1，故-4≤x≤4．
|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）
=$\frac{1}{4}$x²-2mx+m²+12=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．
因為當|$\overrightarrow{MP}$|最小時，點P恰好是橢圓的右頂點，
即當x=4時，|$\overrightarrow{MP}$|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點M在橢圓的長軸上，所以-4≤m≤4．
故實數(shù)m的取值范圍是[1，4]．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程．求標準方程時常需先設橢圓的標準方程，根據(jù)題設中關(guān)于長短軸、焦點、準線方程等求得a和b，進而得到答案．