Question

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線．

解答： 解：設點C的坐標為（x，y），由已知，得
直線AC的斜率kAC=

y

x+5

(x≠-5)，
直線BC的斜率kBC=

y

x-5

(x≠5)，
由題意得k_AC•k_BC=m，所以

y

x+5

×

y

x-5

=m(x≠±5)
即

x2

25

-

y2

25m

=1(x≠±5)…（7分）
當m＜0時，點C的軌跡是橢圓（m≠-1），或者圓（m=-1），并除去兩點（-5，0），（5，0）
當m＞0時，點C的軌跡是雙曲線，并除去兩點（-5，0），（5，0）…（10分）

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．