Question

動點P與點F（0，1）的距離和它到直線l：y=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)點A（0，a）（a＞2），動點T在曲線C上運動時，|AT|的最短距離為a-1，求a的值以及取到最小值時點T的坐標；
（3）設(shè)P₁，P₂為曲線C的任意兩點，滿足OP₁⊥OP₂（O為原點），試問直線P₁P₂是否恒過一個定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，動點P的軌跡是拋物線，且拋物線的焦點坐標為F（0，1），準線方程為l：y=-1，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)點T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），|AT|=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，由此能求出a的值以及取到最小值時點T的坐標．
（3）由題意得直線OP₁、OP₂的斜率都必須存在，記為k，-

1

k

，聯(lián)立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），由此能證明直線P₁P₂恒過點（0，4）．

解答： 解：（1）∵動點P與點F（0，1）的距離和它到直線l：y=-1的距離相等，
∴根據(jù)拋物線的定義可知，動點P的軌跡是拋物線，
且拋物線的焦點坐標為F（0，1），準線方程為l：y=-1，
所以曲線C的方程為x²=4y．…（4分）
（2）設(shè)點T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），
|AT|=

(x0-0)2+(y0-a)2

=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，
a-2＞0，則當y₀=a-2時，|AT|取得最小值為2

a-1

，
2

a-1

=a-1，a²-6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），
所以y₀=a-2=3，x₀=±2

3

，所以T坐標為（±2

3

，3）；…（10分）
（3）由題意得直線OP₁、OP₂的斜率都必須存在，記為k，-

1

k

，
聯(lián)立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），
直線P₁P₂的斜率為

1-k2

k

，直線P₁P₂方程為：y-4k2=

1-k2

k

(x+4k)
整理得：k（y-4）+（k²-1）x=0，
所以直線P₁P₂恒過點（0，4）…（16分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值以及取到最小值時點的坐標的求法，考查直線是否恒過一個定點的判斷與求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．