Question

已知a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且當x＜0時，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≥a-1，?x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由奇函數(shù)的對稱性可知，我們只要討論f（x）在區(qū)間（-∞，0）的單調性即可．
（2）對a的取值情況進行討論，然后，根據(jù)恒成立問題進行求解．

解答： 解：（1）∵當x＜0時，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
∴f′（x）=2+

2a3

x3

，
令f ′（x）=0，得x=-a．
①當a≤0時，f ′（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（-∞，0）是單調遞增．  …
②當a＞0時，x∈（-∞，-a ），f ′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，-a ）是單調遞增．
x∈（-a，0），f ′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（-a，0）是單調減．
綜上所述：當a≤0時，f（x）單調增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）單調增區(qū)間為（-∞，-a ），（a，+∞），單調減區(qū)間為（-a，0），（0，a）．
（2）因為f（x）為奇函數(shù)，
所以當x＞0時，f（x）=-f（-x）=-（-2x-

a3

x2

+1）=2x+

a3

x2

-1．
①當a＜0時，要使f（x）≥a-1對一切x＞0成立，2x+

a3

x2

≥a對一切x＞0成立．
而當x=-

a

2

＞0時，有-a+4a≥a，所以a≥0，則與a＜0矛盾．
所以a＜0不成立．
②當a=0時，f（x）=2x-1＞-1=a-1對一切x＞0成立，故a=0滿足題設要求．
③當a＞0時，由（1）可知f（x）在（0，a）是減函數(shù)，在（a，+∞）是增函數(shù)．
所以f_min（x）=f（a）=3a-1＞a-1，所以a＞0時也滿足題設要求．
綜上所述，a的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題重點考查了函數(shù)的奇偶性、單調性，函數(shù)的導數(shù)與單調性的對應關系，分類討論思想在求解單調區(qū)間中的應用等知識．