Question

觀察下列等式：
（x²+x+1）⁰=1；
（x²+x+1）¹=x²+x+1；
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；
由此可以推測(cè)：（x²+x+1）⁵的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：有題意可知當(dāng)n=n時(shí)，展開式有2n+1項(xiàng)，且展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)最大，利用排列組合求出展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)，問題得以解決．

解答： 解：觀察所給的等式
當(dāng)n=0時(shí)，展開式有1項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)，展開式有3項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，展開式有5項(xiàng)，當(dāng)n=3時(shí)，展開式有7項(xiàng)，
由此得到規(guī)律為，當(dāng)n=n時(shí)，展開式有2n+1項(xiàng)，且展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)最大，
因此當(dāng)n=5時(shí)，按x的降次排列，展開式有11項(xiàng)，且展開式第6項(xiàng)的系數(shù)最大，
展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
由此可以推測(cè)：（x²+x+1）⁵的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是：51x⁶，
故答案為：51x⁶，

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用以及歸納推理，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．