Question

2．設(shè)f（x）=x-$\frac{a-1}{x}$-alnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞1時，若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（$\frac{1}{2}$）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極大值點(diǎn)，求出a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}$，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$處的切線的斜率為$f'（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．
所求切線方程為$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}-ax+a-1}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，令f'（x）=0得x₁=1，x₂=a-1，由已知a-1＞0，
①當(dāng)a-1＜1即1＜a＜2時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表知x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)a-1=1即a=2時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+
f（x）	遞增	非極值	遞增

由表知x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)a-1＞1即a＞2時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表知x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上，當(dāng)a＞2時x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，即所求取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．