Question

2．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一個(gè)整數(shù)x₀使f（x₀）＜0成立，則a的范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1]
• C． （0，2+2ln2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1，h（x）=-lnx，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在曲線y=h（x）的下方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得g（1）＜h（1）=0且h（2）＞g（2），解關(guān)于a的不等式，取交集即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1，h（x）=-lnx，
由題意知存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在曲線y=h（x）=-lnx的下方，
畫出函數(shù)的圖象，如圖示：
，
由題意結(jié)合圖象可知，存在唯一的整數(shù)x₀=1，f（x₀）＜0，
而h（1）=-ln1=0，g（1）=$\frac{1}{2}$-a＜0，解得：a＞$\frac{1}{2}$，
h（2）=-ln2，g（2）=2-2a-1＞-ln2，解得：a＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
故a∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．