Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1]．
（1）求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）證明：f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令f′（x）=0，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值的關(guān)系，即可求得f（x）的極值點(diǎn)；
（2）由g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$在（0，1]單調(diào)遞增，即可求得g（x）的最大值，由（1）求得f（x）的最小值，即可求得f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）由f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，求導(dǎo)，f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$，
由當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{\root{3}{2}}$]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{\root{3}{2}}$，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$時(shí)，f（x）取極小值，極小值為：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$，
f（x）的極值點(diǎn)x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$；
（2）證明：設(shè)g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
則g（x）在（0，1]單調(diào)遞增，則g（x）_max=$\frac{7}{4}$，
由（1）可知：f（x）在（0，1）上的最小值為：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$＞$\frac{7}{4}$，
∴x∈（0，1]，f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查不等式的證明，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．