Question

求頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O、對(duì)稱軸為x軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1）的拋物線的方程，寫出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并求直線y=2x+3截該拋物線的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0）．把點(diǎn)A（-1，1）代入即可得到p，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
設(shè)直線y=2x+3與拋物線相較于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答：解：由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0）．
把點(diǎn)A（-1，1）代入得1=2p，∴p=

1

2

，

p

2

=

1

4

．
∴該拋物線的方程為y²=-x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1

4

，0)和準(zhǔn)線方程x=

1

4

．
設(shè)直線y=2x+3與拋物線相較于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=2x+3 y2=-x

，化為4x²+13x+9=0．
∴x1+x2=-

13

4

．
∴|MN|=p-（x₁+x₂）=

1

2

-(-

13

2

)=7．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)、弦長(zhǎng)公式扥公式解題的關(guān)鍵．