Question

已知（x-）ⁿ的展開式中所有二項式系數的和為512，則展開式中x³項的系數為 ________

Answer 1

-84
分析：首先分析題目已知（x-）ⁿ的展開式中二項式系數的和為512，求展開式中x³項的系數．因為由二項式性質可直接得到二項式系數和為2ⁿ，故可求出n的值，再列出二項式的通項，求出x³項為第幾項，代入通項求出系數即可得到答案．
解答：因為根據二項式性質（x-）ⁿ的展開式中所有二項式系數和為2ⁿ
故由已知得2ⁿ=512 故n=9
又展開式中二項式的通項為=（-1）^9-kC₉^kx^2k-9
故展開式中x³項為2k-9=3，即k=6，則系數為（-1）^9-3C₉³=-84
故答案為：-84．
點評：此題主要考查二項式系數的性質問題，其中涉及到展開式中二項式的通項的求法，此類題目在高考中多以選擇填空的形式出現，一般考查的都是比較簡單的概念性問題，同學們需要掌握．