Question

6．（1）如果三角形的邊長a、b、c滿足等式a²+b²+c²=ab+bc+ca，求證：此三角形一定是正三角形；
（2）若a、b、c、$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$皆為有理數(shù)，證明：$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$為有理數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2，再化簡得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，得出：a=b=c，即選出答案；
（2）反證法的證題步驟：假設結論不成立，即反射，再歸謬，從而導出矛盾，得到結論．

解答 證明：（1）等式a²+b²+c²=ab+bc+ac等號兩邊均乘以2得：
2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ac，
即a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0，
即（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
解得：a=b=c，
所以，△ABC是等邊三角形．
（2）假設$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$至少有一個為無理數(shù)，根據(jù)$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$均非負，
且無理數(shù)的和或有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，
可得$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$為無理數(shù)，與$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$為有理數(shù)矛盾，
所以假設不成立，
所以$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$為有理數(shù)．

點評 本題主要考查了利用對已知配方的技巧，結合結論a²+b²+c²=0?b=c=a=0判斷三角形的形狀；反證法關鍵是掌握反證法的證題步驟，注意矛盾的引出方法．