Question

15．（Ⅰ）已知命題p：函數(shù)f（x）=（2a-5）^x是R上的減函數(shù)；
命題q：在x∈（1，2）時(shí)，不等式x²-ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)條件p：2x²-3x+1≤0，條件q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出命題p、q是真命題時(shí)x的取值范圍，再根據(jù)p∨q是真命題時(shí)p真或q真，從而求出a的取值范圍；
（Ⅱ）求出命題p、q是真命題時(shí)x的取值范圍，再求出￢p、￢q對(duì)應(yīng)的集合，利用￢p是￢q的必要不充分條件，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）在p中，∵函數(shù)f（x）=（2a-5）^x是R上的減函數(shù)，
∴0＜2a-5＜1，解得$\frac{5}{2}$＜a＜3；
在q中，由x²-ax+2＜0得ax＞x²+2，
∵1＜x＜2，
∴a＞$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$在x∈（1，2）時(shí)恒成立；
又當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，x+$\frac{2}{x}$∈[2$\sqrt{2}$，3），
∴a≥3；
∵p∨q是真命題，故p真或q真，
∴有$\frac{5}{2}$＜a＜3或a≥3；
∴a的取值范圍是a＞$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）命題p為：{x/$\frac{1}{2}≤x≤1$}，
命題q為：{ x/a≤x≤a+1}，
￢p對(duì)應(yīng)的集合A={x/x＞1，或x＜$\frac{1}{2}$}，
￢q對(duì)應(yīng)的集合為B={x/x＞a+1，或x＜a}，
∵若￢p是￢q的必要不充分條件，
∴B?A，
∴a+1≥1且$a≤\frac{1}{2}$，
∴0≤a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．