Question

若有0＜γ＜β＜α＜

π

2

，則tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由三角恒等變換公式，化簡原式的第二項(xiàng)得

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

=

4

tanβ(tanα-tanβ)

，利用基本不等式算出當(dāng)且僅當(dāng)tanα=2tanβ時(shí)

4

tanβ(tanα-tanβ)

的最小值為

16

tan2α

，從而得到tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥tan2α+

16

tan2α

≥8．再由（tanα-3tanγ）²≥0，可得當(dāng)tanα=3tanγ時(shí)（tanα-3tanγ）²的最小值為0，即得當(dāng)且僅當(dāng)tanα=2、tanβ=1、tanγ=

2

3

時(shí)，tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值為8..

解答：解：∵sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
∴

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

=

4cosαcosβ

tanβ(sinαcosβ-cosαsinβ)

=

4

tanβ(tanα-tanβ)

∵0＜β＜α＜

π

2

∴tanβ（tanα-tanβ）≤[

tanβ+(tanα-tanβ)

2

]2=

1

4

tan²α
當(dāng)且僅當(dāng)tanβ=tanα-tanβ，即tanα=2tanβ時(shí)等號(hào)成立
因此，tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥tan2α+

4

1 4 tan2α

=tan2α+

16

tan2α

又∵tan2α+

16

tan2α

≥2

tan2α• 16 tan2α

=8
∴tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥8，當(dāng)且僅當(dāng)tan2α=

16

tan2α

時(shí)，即tanα=2時(shí)等號(hào)成立
又∵（tanα-3tanγ）²≥0
∴結(jié)合0＜γ＜α＜

π

2

，可得當(dāng)且僅當(dāng)tanα=3tanγ時(shí)，（tanα-3tanγ）²的最小值為0
綜上所述，可得當(dāng)且僅當(dāng)tanα=2、tanβ=1、tanγ=

2

3

時(shí)，
tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值為8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題給出α、β、γ滿足的條件，求關(guān)于三個(gè)角的三角函數(shù)式的最小值．著重考查了三角恒等變換、利用基本不等式求最值和不等式等價(jià)變形等知識(shí)，屬于中檔題．