Question

己知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，不等式+≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上是否存在兩個不同的點(diǎn)P，Q，使P，Q關(guān)于直線y=4x+m對稱？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，可得；利用不等式+≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16，可得，從而可得橢圓C的方程；
（2）假設(shè)P，Q存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)M在橢圓內(nèi)，建立不等式，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，∴，∴①
根據(jù)對稱性知，不等式+≤1所表示的平面區(qū)域是橢圓C的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形，可得②
由①②可得a=4，b=2
∴橢圓C的方程為；
（2）假設(shè)P，Q存在，設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)M（x，y），則
兩式相減可得
∴=-×=-
∴y=2x
∵y=4x+m，∴，y=-m
∵M(jìn)在橢圓內(nèi)，∴
∴
∴
∴
∴m的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的對稱性，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．