分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出B1D⊥平面ABC,B1D⊥AC,BC⊥AC,從而AC⊥平面BCC1B1,由此能證明平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
(Ⅱ)連結(jié)B1C,推導(dǎo)出B1C⊥BC1,AC⊥BC1,從而B(niǎo)C1⊥平面ACB1,由此能證明BC1⊥AB1.
(Ⅲ)作BH⊥AB1于H,連結(jié)C1H,則∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角,由此能求出二面角B-AB1-C1的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵B1在底面ABC上的射影為D,∴B1D⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴B1D⊥AC,
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,
∵B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BCC1B1,
∵AC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
(Ⅱ)連結(jié)B1C,∵在平行四邊形BCC1B1中,BC=CC1,∴平行四邊形BCC1B1是菱形,
∴B1C⊥BC1,
∵AC⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
∴AC⊥BC1,
∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,
∵AB1?平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
解:(Ⅲ)作BH⊥AB1于H,連結(jié)C1H,
∵AB1⊥BC1,BH∩BC1=B,∴AB1⊥平面BHC1,
∴∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角,
設(shè)BC=2,則BC1=2√3,B1A=2√2,BH=√142,
由Rt△BB1H≌Rt△C1B1H,得C1H=BH=√142,
∴cos∠BHC1=BH2+C1H2−BC122BH•C1H=72+72−122×√142×√142=-57.
∴二面角B-AB1-C1的余弦值為-57.
點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查線線垂直的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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,
,且
,有以下四個(gè)結(jié)論:
①;②
;③
平面
;④
與
是異面直線.其中正確命題的序號(hào)是_______.(注:把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
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A. | \frac{8}{3} | B. | 4 | C. | 2 | D. | \frac{16}{3} |
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