Question

2．已知F₁、F₂分別為雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點，過原點的一條直線交雙曲線C于A、B兩點（點A位于第一象限），且滿足AF₁⊥BF₁，則△AF₁F₂的內切圓圓心的橫、縱坐標之和為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}+$1
• C． $\sqrt{7}$-1
• D． 2$\sqrt{7}$-3

Answer 1

分析 設內切圓的圓心為I，且內切圓與AF₁，AF₂，F(xiàn)₁F₂切于K，N，M，運用雙曲線的定義和切線長相等，可得內切圓圓心I的橫坐標，再由三角形的等積法，求得內切圓的半徑r，即為內切圓圓心的縱坐標，即可得到所求和．

解答 解：設內切圓的圓心為I，且內切圓與AF₁，AF₂，F(xiàn)₁F₂切于K，N，M，
雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，①
由切線長相等，可得|AK|=|AN|，|F₁K|=|F₁M|，|F₂N|=|F₂M|，
即有|F₁K|-|F₂N|=2，即|F₁M|-|F₂M|=2，
由|F₁M|+|F₂M|=|F₁F₂|=4，
解得|F₂M|=1，
可得M（1，0），即有I的橫坐標為1，
設內切圓的半徑為r，
由AF₁⊥BF₁，可得AF₁⊥AF₂，
可得|AF₁|²+|AF₂|²=16，②
由①②可得|AF₁|+|AF₂|=2$\sqrt{7}$，|AF₁|•|AF₂|=6，
由等積法，可得$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|=$\frac{1}{2}$r（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|），
即有6=r（2$\sqrt{7}$+4），
解得r=$\sqrt{7}$-2，
可得△AF₁F₂的內切圓圓心的橫、縱坐標之和為$\sqrt{7}$-2+1=$\sqrt{7}$-1，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查定義法的運用，以及內切圓的切線長定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．